土の単位体積重量に関するTips

間隙比 e、含水比 w、単位体積重量 γ、飽和度 S_r、土粒子密度γ_s(土粒子比重G_s) などの関係は
なかなか覚えきれないですね。そこでなるべく簡単に導く方法を示してみましょう。
ただしここでは、各物理量の定義がキチンと理解されていることが前提です。

単位体積重量の考え方
土は、土粒子(鉱物固体部分)と間隙(水＋空気)から構成されていますが、
まず、土粒子の体積を１として考えてみましょう。
そうすると、下図のようにそれぞれの体積と重量が求まります。

重量の項で、 G_sγ_wは土粒子の単位体積重量、
また水の体積は eS_r で表わされますね。

したがって、まず土の湿潤状態の単位体積重量γ_tが下式のように求まります。
γ_t = W/V = (G_s+e S_r)γ_w／(1+e) ............(1)

(1)式において、S_r = 0 の場合が乾燥単位体積重量γ_dとなります。
γ_d = W/V = G_sγ_w／ (1+e) ............(2)

また、S_r = 1(100 %) の場合は飽和単位体積重量 γ_sat です。
γ_sat= W/V = (G_s+e )γ_w／(1+e) ............(3)

実験などではγ_d が始めに求まることが多いので、
(2)式を用いて間隙比を求めることができます。
e = G_sγ_w/γ_d-1 .............(4)

含水比の考え方
含水比wは、水の重量／土粒子の重量と定義されています。
上図において、水の重量は e S_rγ_w 、土の重量は G_sγ_w ですね。
したがって、w = e S_rγ_w/G_sγ_w= e S_r/G_s
書き直すと、e S_r= w G_s..............(5)

(5)式を(1)式に代入すると、
γ_t= (1+ w)G_sγ_w／(1+e) ............(7)

まとめ
土粒子の体積を 1 とおいたとき、
土の体積は 1+ e
水の重量は e S_rγ_w 、
土粒子の重量はG_sγ_w となることを思い出し、
次の２つの式が導ければあとは簡単です。

γ_t = (G_s+e S_r)γ_w／(1+e)

e S_r= w G_s

※メモを見ないで一通り自分で導いてみましょう。

補足
単位体積重量γのかわりに密度 ρで表現すると(1)式は以下のようになります。

ρ_t = (ρ_s+ e S_rρ_w)／(1+e)

ρ_t ：湿潤密度、γ_t = ρ_t g
ρ_s：土粒子密度、ρ_s = G_s γ_w
ρ_w：水の密度、γ_w= ρ_w g
g ：重力加速度

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